试题
题目：
先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题，
（1）已知a
2
-3a+1=0，求a
2
+
1
a
2
的值．
解：由a
2
-3a+1=0知a≠0，∴a-3+
1
a
=0，即a+
1
a
=3
∴a
2
+
1
a
2
=
(a+
1
a
)
2
-2=7；
（2）已知：y
2
+3y-1=0，求
y
4
y
8
-3
y
4
+1
的值．
答案
解：由y
2
+3y-1=0，知y≠0，∴y+3-
1
y
=0，即
1
y
-y=3，
∴
(
1
y
-y
)
2
=
1
y
2
+y
2
-2=9，即
1
y
2
+y
2
=11，
∴
(
1
y
2
+
y
2
)
2
=121，
∴
1
y
4
+y
4
=119，
由
y
8
-3
y
4
+1
y
4
=y
4
-3+
1
y
4
=116，
∴
y
4
y
8
-3
y
4
+1
=
1
116
．
解：由y
2
+3y-1=0，知y≠0，∴y+3-
1
y
=0，即
1
y
-y=3，
∴
(
1
y
-y
)
2
=
1
y
2
+y
2
-2=9，即
1
y
2
+y
2
=11，
∴
(
1
y
2
+
y
2
)
2
=121，
∴
1
y
4
+y
4
=119，
由
y
8
-3
y
4
+1
y
4
=y
4
-3+
1
y
4
=116，
∴
y
4
y
8
-3
y
4
+1
=
1
116
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
分式的化简求值．
（1）由解答过程可以看出，可以先求得a+
1
a
的值，再用换元法即可求得a
2
+
1
a
2
的值．
（2）此题可以仿照（1）先求
1
y
-y，然后求得
1
y
2
+y
2
，再求得
1
y
4
+y
4
，最后通过
y
4
y
8
-3
y
4
+1
分式分母同除以y
4
求得结果．
本题考查了分式的化简求值，通过变形换元去求解较为简单．
阅读型．
找相似题
（2011·南通）设m＞n＞0，m
2
+n
2
=4mn，则
m
2
-
n
2
mn
=（ ）
已知实数m、n满足关系
1
m+n
+
1
m-n
=
n
m
2
-
n
2
，求
2mn+
n
2
m
2
的值．
先化简，再求值
x
2
+4x+4
x+2
÷(
x
2
+2x)
，其中x=
2
+1．
先化简
(
a
a
2
-3a
-
2a
a
2
-9
)÷
a-2
a
2
+6a+9
，然后从不等式组
2x+3＞x-1
x+8≥4x-1
的解集中选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．
化简：
（1）
12xy
5
÷9
x
2
y
（2）
3-a
2a-4
÷(a+2-
5
a-2
)
，其中a=
-
1
2
．