试题

观察下列各个等式：1²=1，1²+2²=5，1²+2²+3²=14，1²+2²+3²+4²=30，…．
（1）你能从中推导出计算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式吗？请写出你的推导过程；
（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1，分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1，设△OBA₁、
△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…、△A_n-1B_n-1A的面积依次为S₁、S₂、S₃、S₄、…、Sn．
①当n=2010时，求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

解：（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=

n3+3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∴点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的横坐标分别为

3

n

、

6

n

、

9

n

、…、

3(n-1)

n

，
点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的纵坐标分别为-(

3

n

)2+2(

3

n

)+3、-(

6

n

)2+2(

6

n

)+3、…、-[

3(n-1)

n

]2+2×

3(n-1)

n

+3．
∴S1=

9

2n

，S2=

9(n2+2n-3)

2n3

，S3=

9(n2+4n-12)

2n3

，…，Sn=

9[n2+2(n2-n)-3(n-1)2]

2n3

；
∴S1+S2+S3+…+Sn=

9{n3+2n(1+2+3+…+n-1)-3[12+22+32+…+(n-1)2]}

2n3

=

9[n3+2n× n(n-1) 2 -3× n(n-1)(2n-1) 6

2n3

=

9(2n2+n-1)

4n2

．（3分）
∴①当n=2010时，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀=

9

2

+

9

4×2010

-

9

4×20102

；
②∵S1+S2+S3+…+Sn=

9(2n2+n-1)

4n2

=

9

2

+

9

4n

-

9

4n2

；
∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于

9

2

，即所有三角形的面积和等于

9

2

．（3分）
解：（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=

n3+3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∴点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的横坐标分别为

3

n

、

6

n

、

9

n

、…、

3(n-1)

n

，
点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的纵坐标分别为-(

3

n

)2+2(

3

n

)+3、-(

6

n

)2+2(

6

n

)+3、…、-[

3(n-1)

n

]2+2×

3(n-1)

n

+3．
∴S1=

9

2n

，S2=

9(n2+2n-3)

2n3

，S3=

9(n2+4n-12)

2n3

，…，Sn=

9[n2+2(n2-n)-3(n-1)2]

2n3

；
∴S1+S2+S3+…+Sn=

9{n3+2n(1+2+3+…+n-1)-3[12+22+32+…+(n-1)2]}

2n3

=

9[n3+2n× n(n-1) 2 -3× n(n-1)(2n-1) 6

2n3

=

9(2n2+n-1)

4n2

．（3分）
∴①当n=2010时，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀=

9

2

+

9

4×2010

-

9

4×20102

；
②∵S1+S2+S3+…+Sn=

9(2n2+n-1)

4n2

=

9

2

+

9

4n

-

9

4n2

；
∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于

9

2

，即所有三角形的面积和等于

9

2

．（3分）