试题

题目：
青果学院如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=30°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．
答案
（1）证明：连接OD，青果学院
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
又∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）在Rt△BDO中，∠ODB=90°，∠B=30°，OD=6，
∴BO=2OD=12，
∴AB=12+6=18，
∴AC=
1
2
AB=9，
由勾股定理得：BD=
122-62
=6
3
，BC=
182-92
=9
3
，
∴DC=9
3
-6
3
=3
3
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=
AC2+DC2
=
92+(3
3
)2
=6
3
．
（1）证明：连接OD，青果学院
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
又∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）在Rt△BDO中，∠ODB=90°，∠B=30°，OD=6，
∴BO=2OD=12，
∴AB=12+6=18，
∴AC=
1
2
AB=9，
由勾股定理得：BD=
122-62
=6
3
，BC=
182-92
=9
3
，
∴DC=9
3
-6
3
=3
3
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=
AC2+DC2
=
92+(3
3
)2
=6
3
．
考点梳理
切线的判定；勾股定理．
（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ODA，得出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线判定推出即可；
（2）根据含30度角的直角三角形性质求出BO，AC，根据勾股定理求出BD、BC，求出CD，根据勾股定理求出AD即可．
本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理的应用，用了方程思想．
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