试题

（2008·朝阳区一模）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB，垂足为M，AB=4，CD=2

3

，点E在AB的延长线上，且tanE=

3

3

．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）将△ODE平移，平移后所得的三角形记为△O′D′E′．求当点E′与点C重合时，△O′D′E′与⊙O重合部分的面积．

（1）证明：连接OD．
∵弦CD⊥直径AB，AB=4，CD=2

3

，
∴MD=

1

2

CD，
∴OD=

1

2

AB=2．
在Rt△OMD中，∵sin∠DOM=

MD

OD

=

3

2

，
∴∠DOM=60°，
在Rt△DME中，∵tanE=

3

3

，
∴∠E=30°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．（2分）

（2）解：∵∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，
∴DE=2

3

，
在Rt△ODM中，OM=1，
∴AM=3，
在Rt△ACM中，由勾股定理得，AC=2

3

，
∴AC=DE=D′E′，
∵点E′与点C重合，
∴平移后的D′E′与AC重合，
交⊙O于点F，连接OF、OC、AF，
由平移的性质得△ODE≌△O′AC，
∴∠O′CA=∠E=30°，∠AOF=2∠ACO′=60°．
由平移的性质可知FC∥AO，
在Rt△FCD中，可求得FC=2，∠CFO=∠FOA=60°，
∴△FOC为等边三角形，
∴FC=OA=2，
∴S_△AFO=S_△AFC，
∴S重合部分=S扇形AOF=

60π×22

360

=

2

3

π．（5分）
（1）证明：连接OD．
∵弦CD⊥直径AB，AB=4，CD=2

3

，
∴MD=

1

2

CD，
∴OD=

1

2

AB=2．
在Rt△OMD中，∵sin∠DOM=

MD

OD

=

3

2

，
∴∠DOM=60°，
在Rt△DME中，∵tanE=

3

3

，
∴∠E=30°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．（2分）

（2）解：∵∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，
∴DE=2

3

，
在Rt△ODM中，OM=1，
∴AM=3，
在Rt△ACM中，由勾股定理得，AC=2

3

，
∴AC=DE=D′E′，
∵点E′与点C重合，
∴平移后的D′E′与AC重合，
交⊙O于点F，连接OF、OC、AF，
由平移的性质得△ODE≌△O′AC，
∴∠O′CA=∠E=30°，∠AOF=2∠ACO′=60°．
由平移的性质可知FC∥AO，
在Rt△FCD中，可求得FC=2，∠CFO=∠FOA=60°，
∴△FOC为等边三角形，
∴FC=OA=2，
∴S_△AFO=S_△AFC，
∴S重合部分=S扇形AOF=

60π×22

360

=

2

3

π．（5分）