试题

题目：
青果学院（2008·东城区一模）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AB=2
3
，AD=6．
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，求证：FA是⊙O的切线．
答案
青果学院证明：（1）∵弧AB=弧AC，
∴∠D=∠ABC，
又∵∠BAE为公共角，
∴△ABE∽△ADB．

（2）连接AO，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
又∵AB=2
3
，AD=6，
∴BD=4
3
，
∴AO=BO=OD=2
3
，
∴BF=AB=BO，
∴△AFO是直角三角形，
∴∠FAO=90°，
∴FA是⊙O的切线．
青果学院证明：（1）∵弧AB=弧AC，
∴∠D=∠ABC，
又∵∠BAE为公共角，
∴△ABE∽△ADB．

（2）连接AO，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
又∵AB=2
3
，AD=6，
∴BD=4
3
，
∴AO=BO=OD=2
3
，
∴BF=AB=BO，
∴△AFO是直角三角形，
∴∠FAO=90°，
∴FA是⊙O的切线．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；切线的判定．
由图知∠C=∠D，∠BAE为公共角所以很容易判断△ABE∽△ADB；
若要证明FA是⊙O的切线，则需要证得AO⊥AF或证明△AFO是直角三角形即可．
本题考查了相似三角形的判定和切线的判定，常见的相似判定方法有AA，SAS，SSS；切线的判定是：连接圆心和某一点再证垂直．
证明题．
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