试题

如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=

1

2

ED，延长DB到点F，使FB=

1

2

BD，连接AF．
（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）连接OA，求证：OA⊥BC；
（3）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

证明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=

1

2

BD，AE=

1

2

ED，∴

BD

FD

=

ED

AD

=

2

3

…（2分）
又∵∠BDE=∠FDA
∴△BDE∽△FDA …（5分）
（2）连接OA，并连接OB和OC，如下图所示，

∵AB=AC，OA=OA，OB=OC，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC．…（6分）
又∵OB=OC
∴AO⊥BC…（7分）

（3）直线AF与⊙O相切．  …（8分）
由△BDE∽△FDA，那么∠EBD=∠AFD．
∴BE∥FA…（9分）
由AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直线FA与⊙O相切．…（11分）
证明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=

1

2

BD，AE=

1

2

ED，∴

BD

FD

=

ED

AD

=

2

3

…（2分）
又∵∠BDE=∠FDA
∴△BDE∽△FDA …（5分）
（2）连接OA，并连接OB和OC，如下图所示，

∵AB=AC，OA=OA，OB=OC，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC．…（6分）
又∵OB=OC
∴AO⊥BC…（7分）

（3）直线AF与⊙O相切．  …（8分）
由△BDE∽△FDA，那么∠EBD=∠AFD．
∴BE∥FA…（9分）
由AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直线FA与⊙O相切．…（11分）