试题

题目：
青果学院（2009·莆田二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D点作DE⊥AC于E．
（1）试判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若tanB=
3
3
，DE=4
3
，求⊙O的直径．
答案
青果学院解：（1）DE是⊙O的切线．
理由如下：
如图，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，
∵∠B=∠C，tanB=
3
3
，
∴tanC=
3
3
，
∴∠C=30°．
在Rt△DEC中
∵sinC=sin30°=
DE
CD
，
∴CD=2DE=8
3
，
在Rt△ADC中
∵cosC=cos30°=
CD
AC
，
∴
3
2
=
8
3
AC
，
∴AC=16．
∴直径AB=16．
青果学院解：（1）DE是⊙O的切线．
理由如下：
如图，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，
∵∠B=∠C，tanB=
3
3
，
∴tanC=
3
3
，
∴∠C=30°．
在Rt△DEC中
∵sinC=sin30°=
DE
CD
，
∴CD=2DE=8
3
，
在Rt△ADC中
∵cosC=cos30°=
CD
AC
，
∴
3
2
=
8
3
AC
，
∴AC=16．
∴直径AB=16．
考点梳理
切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．
（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OD，再利用已知条件证∠ODE=90°即可；
（2）根据三角函数求出CD，AC的长，由于AC=AB，即得出了直径的长度．
本题考查了切线的判定及解直角三角形等知识点的掌握情况．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
综合题．
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