试题
题目:
现有4个全等的直角三角形纸板,你能用它们来拼证勾股定理吗?若能,说明你的思路和方法,方法越多越好(至少要写出四种方法).
答案
解:解法一:①如图:
②证明:∵大正方形的面积表示为(a+b)
2
,大正方形的面积也可表示为c
2
+4×
1
2
ab,
∴(a+b)
2
=c
2
+4×
1
2
ab,
a
2
+b
2
+2ab=c
2
+2ab
∴a
2
+b
2
=c
2
,
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
解法二:①如图,
②证明:∵大正方形的面积表示为:c
2
,
又可以表示为:
1
2
ab×4+(b-a)
2
,
∴c
2
=
1
2
b×4+(b-a)
2
,c
2
=2ab+b
2
-2ab+a
2
,
∴a
2
+b
2
=c
2
,
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
解法三:①如图,
②证明:梯形的面积可以表示为:
1
2
ab×2+
1
2
c·c=ab+
1
2
c
2
,
也可以表示为:
1
2
(a+b)(a+b)=
1
2
(a
2
+2ab+b
2
),
∴
1
2
(a
2
+2ab+b
2
)=ab+
1
2
c
2
,
整理得,a
2
+b
2
=c
2
;
解法四:①如图,
②证明:边长为c的正方形的面积可以表示为c
2
,
也可以表示为:a
2
+b
2
,
∴a
2
+b
2
=c
2
.
解:解法一:①如图:
②证明:∵大正方形的面积表示为(a+b)
2
,大正方形的面积也可表示为c
2
+4×
1
2
ab,
∴(a+b)
2
=c
2
+4×
1
2
ab,
a
2
+b
2
+2ab=c
2
+2ab
∴a
2
+b
2
=c
2
,
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
解法二:①如图,
②证明:∵大正方形的面积表示为:c
2
,
又可以表示为:
1
2
ab×4+(b-a)
2
,
∴c
2
=
1
2
b×4+(b-a)
2
,c
2
=2ab+b
2
-2ab+a
2
,
∴a
2
+b
2
=c
2
,
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
解法三:①如图,
②证明:梯形的面积可以表示为:
1
2
ab×2+
1
2
c·c=ab+
1
2
c
2
,
也可以表示为:
1
2
(a+b)(a+b)=
1
2
(a
2
+2ab+b
2
),
∴
1
2
(a
2
+2ab+b
2
)=ab+
1
2
c
2
,
整理得,a
2
+b
2
=c
2
;
解法四:①如图,
②证明:边长为c的正方形的面积可以表示为c
2
,
也可以表示为:a
2
+b
2
,
∴a
2
+b
2
=c
2
.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
勾股定理的证明.
通过作图,利用三角形面积、正方形面积之间的关系,证明勾股定理.
本题考查了勾股定理的证明,利用同一个图形的面积的不同表示方法得解即可,灵活性较强.
开放型.
找相似题
勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,则D,E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上,则长方形KLMJ的面积为( )
利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图.观察图形,可以验证( )公式.
我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a、b,那么(a-b)
2
的值是( )
(2010·南浔区模拟)利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理,此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的,人们为了纪念他,把这一证法称为“总统”证法.这个定理称为
勾股定理
勾股定理
,该定理的结论其数学表达式是
a
2
+b
2
=c
2
a
2
+b
2
=c
2
.
如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两
直角边长分别是a、b,斜边长为c)和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.