试题

我们运用图中大正方形的面积可表示为（a+b）²，也可表示为c²+4（

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ab），即（a+b）²=c²+4（

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ab），由此推导出一个重要的结论，a²+b²=c²，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1）请你用图（II）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）
（2）请你用图（III）提供的图形组合成一个新的图形，使组合成的图形的面积表达式能够验证（x+y）²=x²+2xy+y²．画出图形并做适当标注．
（3）请你自己设计一个组合图形，使它的面积能验证：（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²，画出图形并做适当标注．

解：（1）大正方形的面积为：c²，中间空白部分正方形面积为：（b-a）²；
四个阴影部分直角三角形面积和为：4×

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ab；
由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：
c²=（b-a）²+4×

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ab=b²-2ab+a²+2ab=a²+b²；

（2）如图1所示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）²，
它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，
即x²+2xy+y²
所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

（3）如图2所示：大矩形的长、宽分别为（n+m），（n+2m），则其面积为：（m+n）·（n+2m），
从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：
2m²+3mn+n²，
则有：（n+m）（n+2m）=2m²+3mn+n²．
解：（1）大正方形的面积为：c²，中间空白部分正方形面积为：（b-a）²；
四个阴影部分直角三角形面积和为：4×

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ab；
由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：
c²=（b-a）²+4×

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ab=b²-2ab+a²+2ab=a²+b²；

（2）如图1所示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）²，
它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，
即x²+2xy+y²
所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

（3）如图2所示：大矩形的长、宽分别为（n+m），（n+2m），则其面积为：（m+n）·（n+2m），
从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：
2m²+3mn+n²，
则有：（n+m）（n+2m）=2m²+3mn+n²．