题目:
我们运用图中大正方形的面积可表示为(a+b)
2,也可表示为c
2+4(
ab),即(a+b)
2=c
2+4(
ab),由此推导出一个重要的结论,a
2+b
2=c
2,这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.

(1)请你用图(II)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c)
(2)请你用图(III)提供的图形组合成一个新的图形,使组合成的图形的面积表达式能够验证(x+y)
2=x
2+2xy+y
2.画出图形并做适当标注.
(3)请你自己设计一个组合图形,使它的面积能验证:(2m+n)(m+n)=2m
2+3mn+n
2,画出图形并做适当标注.
答案

解:(1)大正方形的面积为:c
2,中间空白部分正方形面积为:(b-a)
2;
四个阴影部分直角三角形面积和为:4×
ab;
由图形关系可知:大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积,即有:
c
2=(b-a)
2+4×
ab=b
2-2ab+a
2+2ab=a
2+b
2;
(2)如图1所示:大正方形边长为(x+y)所以面积为:(x+y)
2,
它的面积也等于两个边长分别为x,y和两个长为x宽为y的矩形面积之和,
即x
2+2xy+y
2
所以有:(x+y)
2=x
2+2xy+y
2成立;
(3)如图2所示:大矩形的长、宽分别为(n+m),(n+2m),则其面积为:(m+n)·(n+2m),
从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为:
2m
2+3mn+n
2,
则有:(n+m)(n+2m)=2m
2+3mn+n
2.

解:(1)大正方形的面积为:c
2,中间空白部分正方形面积为:(b-a)
2;
四个阴影部分直角三角形面积和为:4×
ab;
由图形关系可知:大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积,即有:
c
2=(b-a)
2+4×
ab=b
2-2ab+a
2+2ab=a
2+b
2;
(2)如图1所示:大正方形边长为(x+y)所以面积为:(x+y)
2,
它的面积也等于两个边长分别为x,y和两个长为x宽为y的矩形面积之和,
即x
2+2xy+y
2
所以有:(x+y)
2=x
2+2xy+y
2成立;
(3)如图2所示:大矩形的长、宽分别为(n+m),(n+2m),则其面积为:(m+n)·(n+2m),
从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为:
2m
2+3mn+n
2,
则有:(n+m)(n+2m)=2m
2+3mn+n
2.