试题

大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h₁、h₂．
（1）请你结合图形来证明：h₁+h₂=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h₁、h₂、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y=

3

4

x+3，l₂：y=-3x+3，若l₂上的一点M到l₁的距离是

3

2

．求点M的坐标．

（1）证明：连接AM，由题意得h₁=ME，h₂=MF，h=BD，
∵S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC，
S_△ABM=

1

2

×AB×ME=

1

2

×AB×h₁，
S_△AMC=

1

2

×AC×MF=

1

2

×AC×h₂，
又∵S_△ABC=

1

2

×AC×BD=

1

2

×AC×h，AB=AC，
∴

1

2

×AC×h=

1

2

×AB×h₁+

1

2

×AC×h₂，
∴h₁+h₂=h．

（2）解：如图所示：（5分）
h₁-h₂=h．（7分）

（3）解：在y=

3

4

x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，
所以A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB=

OA2+OB2

=5，AC=5，所以AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．（9分）．
（ⅰ）当点M在BC边上时，由h₁+h₂=h得：

3

2

+M_y=OB，M_y=3-

3

2

=

3

2

，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=

1

2

，
所以此时M（

1

2

，

3

2

）．（10分）
（ⅱ）当点M在CB延长线上时，由h₁-h₂=h得：M_y-

3

2

=OB，M_y=3+

3

2

=

9

2

，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=-

1

2

，
所以此时M（-

1

2

，

9

2

）．（11分）．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M的坐标为M（

1

2

，

3

2

）或（-

1

2

，

9

2

）．（12分）
（1）证明：连接AM，由题意得h₁=ME，h₂=MF，h=BD，
∵S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC，
S_△ABM=

1

2

×AB×ME=

1

2

×AB×h₁，
S_△AMC=

1

2

×AC×MF=

1

2

×AC×h₂，
又∵S_△ABC=

1

2

×AC×BD=

1

2

×AC×h，AB=AC，
∴

1

2

×AC×h=

1

2

×AB×h₁+

1

2

×AC×h₂，
∴h₁+h₂=h．

（2）解：如图所示：（5分）
h₁-h₂=h．（7分）

（3）解：在y=

3

4

x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，
所以A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB=

OA2+OB2

=5，AC=5，所以AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．（9分）．
（ⅰ）当点M在BC边上时，由h₁+h₂=h得：

3

2

+M_y=OB，M_y=3-

3

2

=

3

2

，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=

1

2

，
所以此时M（

1

2

，

3

2

）．（10分）
（ⅱ）当点M在CB延长线上时，由h₁-h₂=h得：M_y-

3

2

=OB，M_y=3+

3

2

=

9

2

，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=-

1

2

，
所以此时M（-

1

2

，

9

2

）．（11分）．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M的坐标为M（

1

2

，

3

2

）或（-

1

2

，

9

2

）．（12分）