试题

我们运用图（I）图中大正方形的面积可表示为（a+b）²，也可表示为c²+4×

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ab，即（a+b）²=c²+4×

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ab由此推导出一个重要的结论a²+b²=c²，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）²=x²+2xy+y²
（3）现有足够多的边长为x的小正方形，边长为y的大正方形以及长为x宽为y的长方形，请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．

解：（1）大正方形的面积为：c²，中间空白部分正方形面积为：（b-a）²；
四个阴影部分直角三角形面积和为：4×

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ab；
由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：
c²=（b-a）²+4×

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ab=b²-2ab+a²+2ab=a²+b²；

（2）如图1所示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）²，
它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，
即x²+2xy+y²
所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

（3）如图2所示：大矩形的长、宽分别为（x+y），（x+2y），则其面积为：（x+y）·（x+2y），
从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：
x²+3xy+2y²，
则有：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．
解：（1）大正方形的面积为：c²，中间空白部分正方形面积为：（b-a）²；
四个阴影部分直角三角形面积和为：4×

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ab；
由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：
c²=（b-a）²+4×

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ab=b²-2ab+a²+2ab=a²+b²；

（2）如图1所示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）²，
它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，
即x²+2xy+y²
所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

（3）如图2所示：大矩形的长、宽分别为（x+y），（x+2y），则其面积为：（x+y）·（x+2y），
从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：
x²+3xy+2y²，
则有：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．