试题

（2010·海淀区二模）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E，若CE=2，cosD=

4

5

，求⊙O的半径．

证明：（1）连接CO，（1分）
∵AB是⊙O直径，
∴∠1+∠OCB=90°．
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠5=∠A，
∴∠5+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线．（3分）

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD．（4分）
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=

CE

CO

．
∵cosD=

4

5

，CE=2，
∴

2

CO

=

4

5

．
∴CO=

5

2

．
∴⊙O的半径为

5

2

．（5分）
证明：（1）连接CO，（1分）
∵AB是⊙O直径，
∴∠1+∠OCB=90°．
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠5=∠A，
∴∠5+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线．（3分）

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD．（4分）
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=

CE

CO

．
∵cosD=

4

5

，CE=2，
∴

2

CO

=

4

5

．
∴CO=

5

2

．
∴⊙O的半径为

5

2

．（5分）