试题

（2011·白下区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．
（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=2

3

，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

解：（1）直线CA与⊙O相切．
如图，连接OA．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，∠DOA=2∠B=60°．
∴∠CAO=90°，即OA⊥CA．
∵点A在⊙O上，
∴直线CA与⊙O相切；

（2）∵AB=2

3

，AB=AC，
∴AC=2

3

，
∵OA⊥CA，∠C=30°，
∴OA=AC·tan30°=2

3

·

3

3

=2．
∴S_扇形OAD=

60π×22

360

=

2

3

π．
∴图中阴影部分的面积等于S_△AOC-S_扇形OAD=2

3

-

2

3

π．
解：（1）直线CA与⊙O相切．
如图，连接OA．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，∠DOA=2∠B=60°．
∴∠CAO=90°，即OA⊥CA．
∵点A在⊙O上，
∴直线CA与⊙O相切；

（2）∵AB=2

3

，AB=AC，
∴AC=2

3

，
∵OA⊥CA，∠C=30°，
∴OA=AC·tan30°=2

3

·

3

3

=2．
∴S_扇形OAD=

60π×22

360

=

2

3

π．
∴图中阴影部分的面积等于S_△AOC-S_扇形OAD=2

3

-

2

3

π．