试题

（2011·利川市一模）如图，BD是⊙O的直径，P是圆外一点，PB、PD分别交⊙O于A、C两点．
（1）找出图中的一对相似三角形，并证明；
（2）延长PA到点F，连接FD，若AB=AF=AD，求证：FD是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若BC=1，CD=2

2

，试求四边形ABCD的周长．

（1）△PBC∽△PDA．
证明：∵ABDC是圆内接四边形，
∴∠PBC=∠ADC，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PDA；

（2）证明：∵BA=AF，
∴AD是△BDF的中线，
又∵AD=AB=AF，即AD=

1

2

BF，
∴△BDF是直角三角形，∠BDF=90°，
∴BD⊥DF，
∴FD是⊙O的切线；

（3）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，∠BAD=90°
∴直角△BCD中，BD=

BC2+CD2

=

1+(2 2 )2

=3，
∵直角△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=

2

2

BD=

3 2

2

，
则四边形ABCD的周长是：1+2

2

+

3 2

2

+

3 2

2

=1+5

2

．
（1）△PBC∽△PDA．
证明：∵ABDC是圆内接四边形，
∴∠PBC=∠ADC，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PDA；

（2）证明：∵BA=AF，
∴AD是△BDF的中线，
又∵AD=AB=AF，即AD=

1

2

BF，
∴△BDF是直角三角形，∠BDF=90°，
∴BD⊥DF，
∴FD是⊙O的切线；

（3）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，∠BAD=90°
∴直角△BCD中，BD=

BC2+CD2

=

1+(2 2 )2

=3，
∵直角△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=

2

2

BD=

3 2

2

，
则四边形ABCD的周长是：1+2

2

+

3 2

2

+

3 2

2

=1+5

2

．