试题

（2011·三山区模拟）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，请判断直线FA与⊙O的位置关系？并说明理由．

解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
而∠BAE=∠DAB，
∴△BAE∽△DAB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB²=AD·AE，
又∵AE=2，ED=4．
∴AD=6，
∴AB²=2×6=12，
∴AB=2

3

；

（2）直线FA与⊙O相切．理由如下：
连OA，如图，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=

AB2+AD2

=

(2 3 ) 2+62

=4

3

，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=BO，
又∵BF=BO，
∴AB=BF=BO，
∴∠ABO=∠AOB=60°，∠F=∠FAB，
∴∠F=∠FAB=

1

2

∠ABO=30°，
∴∠OAF=∠FAB+∠BAO=90°，
∴直线AF是⊙O的切线．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
而∠BAE=∠DAB，
∴△BAE∽△DAB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB²=AD·AE，
又∵AE=2，ED=4．
∴AD=6，
∴AB²=2×6=12，
∴AB=2

3

；

（2）直线FA与⊙O相切．理由如下：
连OA，如图，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=

AB2+AD2

=

(2 3 ) 2+62

=4

3

，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=BO，
又∵BF=BO，
∴AB=BF=BO，
∴∠ABO=∠AOB=60°，∠F=∠FAB，
∴∠F=∠FAB=

1

2

∠ABO=30°，
∴∠OAF=∠FAB+∠BAO=90°，
∴直线AF是⊙O的切线．