试题

（2012·高淳县一模）已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是

AB

的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF=6，∠ACB=60°，求阴影部分的面积．

解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：
连接OD，如图所示：
∵AC为圆O的直径，∴∠CBA=90°，
又∵∠F=90°，
∴∠CBA=∠F=90°，
∴AB∥EF，
∴∠AMO=∠EDO，
又∵D为

AB

的中点，
∴

BD

=

AD

，
∴OD⊥AB，
∴∠AMO=90°，
∴∠EDO=90°，
则EF为圆O的切线；

（2）在Rt△AEF中，∠ACB=60°，∴∠E=30°，
又∵CF=6，
∴CE=2CF=12，
根据勾股定理得：EF=

CE2-CF2

=6

3

，
在Rt△ODE中，∠E=30°，
∴OD=

1

2

OE，又OA=

1

2

OE，
∴OA=AE=OC=

1

3

CE=4，OE=8，
又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E，
∴△ODE∽△CFE，
∴

OD

FC

=

DE

EF

，即

4

6

=

DE

6 3

，
解得：DE=4

3

，
又∵Rt△ODE中，∠E=30°，
∴∠DOE=60°，
则S_阴影=S_△ODE-S_扇形OAD=

1

2

×4×4

3

-

60·π·42

360

=8

3

-

8π

3

．
解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：
连接OD，如图所示：
∵AC为圆O的直径，∴∠CBA=90°，
又∵∠F=90°，
∴∠CBA=∠F=90°，
∴AB∥EF，
∴∠AMO=∠EDO，
又∵D为

AB

的中点，
∴

BD

=

AD

，
∴OD⊥AB，
∴∠AMO=90°，
∴∠EDO=90°，
则EF为圆O的切线；

（2）在Rt△AEF中，∠ACB=60°，∴∠E=30°，
又∵CF=6，
∴CE=2CF=12，
根据勾股定理得：EF=

CE2-CF2

=6

3

，
在Rt△ODE中，∠E=30°，
∴OD=

1

2

OE，又OA=

1

2

OE，
∴OA=AE=OC=

1

3

CE=4，OE=8，
又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E，
∴△ODE∽△CFE，
∴

OD

FC

=

DE

EF

，即

4

6

=

DE

6 3

，
解得：DE=4

3

，
又∵Rt△ODE中，∠E=30°，
∴∠DOE=60°，
则S_阴影=S_△ODE-S_扇形OAD=

1

2

×4×4

3

-

60·π·42

360

=8

3

-

8π

3

．