试题

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F．
（1）求证：DE是⊙O的切线； 
（2）若

AC

AB

=

4

5

，求

AF

DF

的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O直径为10，求△EFD的面积．

（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线；

（2）解：过D作DH⊥AB于H，连接BD、OD，
则∠CAB=∠DOH，
∵cos∠DOH=cos∠CAN=

AC

AB

=

4

5

，
设OD=5x，则 AB=10x，OH=4x，DH=3x．
在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD²=（3x）²+（（5x+4x）²=90x²，
∵DE⊥AC，AB是⊙O直径，
∴∠AED=∠ADB=90°，
∵∠EAD=∠BAD（角平分线定义），
∴△EAD∽△DAB，
∴

AE

AD

=

AD

AB

，
∴AD²=AE·AB=AE·10x，
∴AE=9x，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△EAF，
∴

AF

DF

=

AE

OD

=

9x

5x

=

9

5

．

（3）解：∵AB=10，
∴10x=10，
x=1，
∴AE=9x=9，
∵AD²=AE×AB，
∴AD=3

10

，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=

AD2-AE2

=3，
∴△AED的面积是

1

2

×AE×DE=

1

2

×9×3=

27

2

，
∵

AF

DF

=

9

5

，
∴△EFD的面积为：

5

14

×

27

2

=

135

28

．
（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线；

（2）解：过D作DH⊥AB于H，连接BD、OD，
则∠CAB=∠DOH，
∵cos∠DOH=cos∠CAN=

AC

AB

=

4

5

，
设OD=5x，则 AB=10x，OH=4x，DH=3x．
在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD²=（3x）²+（（5x+4x）²=90x²，
∵DE⊥AC，AB是⊙O直径，
∴∠AED=∠ADB=90°，
∵∠EAD=∠BAD（角平分线定义），
∴△EAD∽△DAB，
∴

AE

AD

=

AD

AB

，
∴AD²=AE·AB=AE·10x，
∴AE=9x，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△EAF，
∴

AF

DF

=

AE

OD

=

9x

5x

=

9

5

．

（3）解：∵AB=10，
∴10x=10，
x=1，
∴AE=9x=9，
∵AD²=AE×AB，
∴AD=3

10

，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=

AD2-AE2

=3，
∴△AED的面积是

1

2

×AE×DE=

1

2

×9×3=

27

2

，
∵

AF

DF

=

9

5

，
∴△EFD的面积为：

5

14

×

27

2

=

135

28

．