试题

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当∠BAC=60°时，DE与DF有何数量关系？请说明理由．

（1）证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠2=∠C，
∵OD=OB，
∴∠2=∠1，
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵点在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：DE与DF的数量关系是DF=2DE．连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠3=∠4=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠3=∠F，∴AD=DF，
∵∠4=30°，EF⊥AC，
∴DE=

1

2

AD，
∴DF=2DE．
（1）证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠2=∠C，
∵OD=OB，
∴∠2=∠1，
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵点在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：DE与DF的数量关系是DF=2DE．连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠3=∠4=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠3=∠F，∴AD=DF，
∵∠4=30°，EF⊥AC，
∴DE=

1

2

AD，
∴DF=2DE．