试题

如图，已知半圆O的直径为AB，以AB一边作正方形ABCD，M是半圆上一点，且CM=CB，连接CO交半圆O于点N．
（1）试判断直线CM与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当关系式MC²=BO·BE成立时，求∠BCE的度数；
（3）若正方形边长为4，延长CM交BA延长线于点E，试计算出线段EM的长．

解：（1）直线CM与圆O相切．
理由如下：连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=90°，
∵CM=CB，OM=OB，OC=OC，
∴△OCM≌△OCB，
∴∠OMC=∠OBC=90°，
即OM⊥CM，
∵M是半圆上一点，
∴直线CM与圆O相切；

（2）∵CM=CB，MC²=BO·BE，
∴CB²=BO·BE．
∴BC：BO=BE：BC．
∵∠CBE=∠OBC=90°，
∴△BCE∽△BOC．
∴∠BCE=∠BOC．
∵∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCE+∠BCO=90°．
∵CM=CB，
∴C在BM的中垂线上．
∵OM=OB，
∴O在BM的中垂线上．
∴OC垂直平分BM．
∴∠BCO=∠MCO．
∴∠BCE=2∠BCO．
∵∠BCE+∠E=90°，
∴∠BCE=60°．

（3）连接AM和BM，
因为M在圆上，AB是直径，
所以AM⊥BM，
因为四边形OBCM是轴对称图形，
所以BM⊥OC，所以AM∥OC．
因为OB=2，CB=4，
所以OC=2

5

，BM=2OB×CB÷OC=

8 5

5

．
因为AB=4，
所以AM=

4 5

5

，
AM：OC=EM：EC，AM：OC=EM：（EM+MC），
即AM：OC=EM：（EM+BC），
解得EM=

8

3

．
解：（1）直线CM与圆O相切．
理由如下：连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=90°，
∵CM=CB，OM=OB，OC=OC，
∴△OCM≌△OCB，
∴∠OMC=∠OBC=90°，
即OM⊥CM，
∵M是半圆上一点，
∴直线CM与圆O相切；

（2）∵CM=CB，MC²=BO·BE，
∴CB²=BO·BE．
∴BC：BO=BE：BC．
∵∠CBE=∠OBC=90°，
∴△BCE∽△BOC．
∴∠BCE=∠BOC．
∵∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCE+∠BCO=90°．
∵CM=CB，
∴C在BM的中垂线上．
∵OM=OB，
∴O在BM的中垂线上．
∴OC垂直平分BM．
∴∠BCO=∠MCO．
∴∠BCE=2∠BCO．
∵∠BCE+∠E=90°，
∴∠BCE=60°．

（3）连接AM和BM，
因为M在圆上，AB是直径，
所以AM⊥BM，
因为四边形OBCM是轴对称图形，
所以BM⊥OC，所以AM∥OC．
因为OB=2，CB=4，
所以OC=2

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，BM=2OB×CB÷OC=

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因为AB=4，
所以AM=

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，
AM：OC=EM：EC，AM：OC=EM：（EM+MC），
即AM：OC=EM：（EM+BC），
解得EM=

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