试题

如图，已知：以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．AF=5，EF=10，
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求sin∠CBE的值．

（本题满分7分）
（1）证明：连接OE，
∵BE是∠B的平分线，
∴∠ABE=∠CBE．（1分）
∴OE⊥AC．（2分）
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF．
∵E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（3分）

（2）解：∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠EAC．
∵∠EAC=∠EBC，
又∵∠ABE=∠CBE，
∴∠FEA=∠ABE．
又∵∠F=∠F，
∴△EFA∽△BFE．（5分）
∴

EF

AF

=

FB

EF

．
∴EF²=AF·FB=15．
∴⊙O的半径长7.5．（6分）

（3）解：∵△EFA∽△BFE，
∴

EF

AF

=

AE

BE

=

1

2

AEBE．
设AE=k，BE=2K，
∵∠AEB=90°，
∴AE²+BE²=AB²∴k²+4k²=15²k=3

5

．
∴AE=3

5

．
∴sin∠ABE=

5

5

．
∴sin∠CBE=sin∠ABE=

5

5

．（7分）
（本题满分7分）
（1）证明：连接OE，
∵BE是∠B的平分线，
∴∠ABE=∠CBE．（1分）
∴OE⊥AC．（2分）
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF．
∵E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（3分）

（2）解：∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠EAC．
∵∠EAC=∠EBC，
又∵∠ABE=∠CBE，
∴∠FEA=∠ABE．
又∵∠F=∠F，
∴△EFA∽△BFE．（5分）
∴

EF

AF

=

FB

EF

．
∴EF²=AF·FB=15．
∴⊙O的半径长7.5．（6分）

（3）解：∵△EFA∽△BFE，
∴

EF

AF

=

AE

BE

=

1

2

AEBE．
设AE=k，BE=2K，
∵∠AEB=90°，
∴AE²+BE²=AB²∴k²+4k²=15²k=3

5

．
∴AE=3

5

．
∴sin∠ABE=

5

5

．
∴sin∠CBE=sin∠ABE=

5

5

．（7分）