试题

题目：
如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AB为直径作⊙O，P是AB上一点，过点P作AB的垂线交青果学院AC的延长线于点Q，D是PQ上一点，DC=DQ．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，BC=QC，求
BP
OP
的值．
答案
青果学院（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∵CD=DQ，
∴∠DCQ=∠Q，
∴∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则AB=2r，OC=r，AC=0.5AB=r，BC=
3
r；
∴CQ=BC=
3
r，AQ=AC+CQ=（1+
3
）r，
PQ=AQ·c0s60°=0.5（1+
3
）r；
∴BP=AB-AP=0.5（3-
3
）r，PO=AP-OA=0.5（
3
-1）r，
∴BP：PO=
3
．
青果学院（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∵CD=DQ，
∴∠DCQ=∠Q，
∴∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则AB=2r，OC=r，AC=0.5AB=r，BC=
3
r；
∴CQ=BC=
3
r，AQ=AC+CQ=（1+
3
）r，
PQ=AQ·c0s60°=0.5（1+
3
）r；
∴BP=AB-AP=0.5（3-
3
）r，PO=AP-OA=0.5（
3
-1）r，
∴BP：PO=
3
．
考点梳理
切线的判定．
（1）连接OC，由角之间的等量关系求得∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，即∠OCD=90°，
（2）设⊙O的半径为r，求出CQ、AQ、PQ，进而算出BP、PO，得到
BP
OP
的值．
本题考查了切线的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
计算题；证明题．
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