试题

如图已知直线PA交⊙O于A、E两点，过⊙O上一点C作PE的垂线交PE于D，AB是⊙O的直径，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若CD=4，tan∠CAD=2，求⊙O的半径．

（1）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∵CD=4，tan∠CAD=2，
∴AD=tan∠CAD×CD=2，
∴AC=

AD2+CD2

=2

5

，
又∵∠1=∠2，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AB=10，
∴⊙O的半径=

1

2

AB=5．
（1）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∵CD=4，tan∠CAD=2，
∴AD=tan∠CAD×CD=2，
∴AC=

AD2+CD2

=2

5

，
又∵∠1=∠2，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AB=10，
∴⊙O的半径=

1

2

AB=5．