试题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线．
（2）若AD=2

6

，AE=6

2

，求EC的长．

（1）证明：取BD中点O，连接OE，
∵∠DEB=90°，
∴BD为直径，
∴BD的中点O为外接圆的圆心．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBO，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠EBO，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）解：设⊙O半径为R，
则在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA²=AE²+OE²，
即（R+2

6

）²=R²+（6

2

）²，
解得：R=2

6

，
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°，
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴EC=

1

2

BE=

1

2

×

3

R=

1

2

×

3

×2

6

=3

2

．
（1）证明：取BD中点O，连接OE，
∵∠DEB=90°，
∴BD为直径，
∴BD的中点O为外接圆的圆心．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBO，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠EBO，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）解：设⊙O半径为R，
则在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA²=AE²+OE²，
即（R+2

6

）²=R²+（6

2

）²，
解得：R=2

6

，
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°，
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴EC=

1

2

BE=

1

2

×

3

R=

1

2

×

3

×2

6

=3

2

．