试题

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．

证明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，
∴∠PCE+∠OCE=90°，
∵∠PCE=∠POC，
∴∠PCE+∠OCD=90°，
∴OC⊥PC，
又∵OC为半径，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：设OE=k，则AE=2k，OC=3k，
在Rt△OCE中，由勾股定理得CE=2

2

k，
∵∠P=∠P，∠PEC=∠PCO=90°，
∴△PEC∽△CEO，
∴

CE

PE

=

OE

CE

，
即（2

2

k）²=（6+2k）k，
k=0（舍去），k=1，
即OC=3k=3，
答：⊙O的半径为3．
证明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，
∴∠PCE+∠OCE=90°，
∵∠PCE=∠POC，
∴∠PCE+∠OCD=90°，
∴OC⊥PC，
又∵OC为半径，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：设OE=k，则AE=2k，OC=3k，
在Rt△OCE中，由勾股定理得CE=2

2

k，
∵∠P=∠P，∠PEC=∠PCO=90°，
∴△PEC∽△CEO，
∴

CE

PE

=

OE

CE

，
即（2

2

k）²=（6+2k）k，
k=0（舍去），k=1，
即OC=3k=3，
答：⊙O的半径为3．