试题

已知，如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于D，取AC中点E，连结OE，ED的延长线与CB的延长线交于F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为3cm，ED=4cm，求sin∠F的值．

证明：（1）如图，连结OD，
则OD=OC=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵E为AC的中点，O是CB的中点，
∴OE∥AB，
∴∠COE=∠CBA，∠EOD=∠ODB，
∴∠COE=∠EOD，
∵在△OCE和△ODE中，

OE=OE ∠COE=∠DOE OC=OD

∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODB=∠OCE=90°，
即ED⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是圆O的切线．

（2）解：由OC=OD=OB=3cm，
ED=EC=4cm，
∵∠F=∠F，∠FCE=∠FDO，
∴△FDO∽△FCE，
∴

FO

FE

=

OD

EC

=

3

4

，
设FD=x，

x2+9

x+4

=

3

4

，
x=

72

7

，
∴EF=

72

7

+4=

100

7

，
∴sin∠F=

CE

EF

=

7

5

．
证明：（1）如图，连结OD，
则OD=OC=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵E为AC的中点，O是CB的中点，
∴OE∥AB，
∴∠COE=∠CBA，∠EOD=∠ODB，
∴∠COE=∠EOD，
∵在△OCE和△ODE中，

OE=OE ∠COE=∠DOE OC=OD

∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODB=∠OCE=90°，
即ED⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是圆O的切线．

（2）解：由OC=OD=OB=3cm，
ED=EC=4cm，
∵∠F=∠F，∠FCE=∠FDO，
∴△FDO∽△FCE，
∴

FO

FE

=

OD

EC

=

3

4

，
设FD=x，

x2+9

x+4

=

3

4

，
x=

72

7

，
∴EF=

72

7

+4=

100

7

，
∴sin∠F=

CE

EF

=

7

5

．