试题

（2012·莲都区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：OB=1：5，OB=OC，△ABC的面积S_△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（3）设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F．以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，
由S_△ABC=

1

2

AB×OC=15，得

1

2

×6m×5m=15，
解得m=1（舍去负值），
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将C点坐标代入，得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），
即y=x²-4x-5；

（2）∵B（5，0），C（0，-5），
∴直线BC的解析式为：y=x-5，
∵点M的运动时间为t，
∴M（0，-2t），
∵直线MH平行于直线BC，
∴直线MH为y=x-2t，
设直线MH与对称轴交于点D，点D的坐标为（2，2-2t），
∴DP=（2-2t）-（-3）=5-2t，
∴S_△PMH=

1

2

×2t（5-2t）=-2t²+5t=-2（t-

5

4

）²+

25

8

，（0＜t＜

5

2

），
∴当t=

5

4

时，S有最大值是

25

8

；

（3）∵抛物线的解析式为y=x²-4x-5，
∴设点E的坐标为（x，x²-4x-5），
又∵抛物线的对称轴为x=2，
∴点E到对称轴的距离为

1

2

EF=|x-2|，
∵以EF为直径的⊙Q与x轴相切，
∴|x-2|=|x²-4x-5|，
①x-2＞0，x²-4x-5＞0时，即x＞5时，x-2=x²-4x-5，
整理得，x²-5x-3=0，
解得x=

5+ 37

2

，x=

5- 37

2

（舍去），
∴x-2=

1+ 37

2

，
此时点E的坐标为（

5+ 37

2

，

1+ 37

2

），
②x-2＞0，x²-4x-5＜0时，即2＜x＜5时，x-2=-（x²-4x-5），
整理得，x²-3x-7=0，
解得x=

3+ 37

2

，x=

3- 37

2

（舍去），
∴-（x-2）=-（

3+ 37

2

-2）=

1- 37

2

，
此时点E的坐标为（

3+ 37

2

，

1- 37

2

），
③x-2＜0，x²-4x-5＞0时，即x＜-1时，-（x-2）=x²-4x-5，
整理得，x²-3x-7=0，
解得x=

3- 37

2

，x=

3+ 37

2

（舍去），
∴-（x-2）=-（

3- 37

2

-2）=

1+ 37

2

，
此时点E的坐标为（

3- 37

2

，

1+ 37

2

），
④x-2＜0，x²-4x-5＜0时，即-1＜x＜2时，-（x-2）=-（x²-4x-5），
整理得，x²-5x-3=0，
解得x=

5- 37

2

，x=

5+ 37

2

（舍去），
∴x-2=

5- 37

2

-2=

1- 37

2

，
此时点E的坐标为（

5- 37

2

，

1- 37

2

），
综上所述，存在点E：（

5+ 37

2

，

1+ 37

2

），（

3+ 37

2

，

1- 37

2

），（

3- 37

2

，

1+ 37

2

），（

5- 37

2

，

1- 37

2

）使得以EF为直径的⊙Q与x轴相切．
解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，
由S_△ABC=

1

2

AB×OC=15，得

1

2

×6m×5m=15，
解得m=1（舍去负值），
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将C点坐标代入，得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），
即y=x²-4x-5；

（2）∵B（5，0），C（0，-5），
∴直线BC的解析式为：y=x-5，
∵点M的运动时间为t，
∴M（0，-2t），
∵直线MH平行于直线BC，
∴直线MH为y=x-2t，
设直线MH与对称轴交于点D，点D的坐标为（2，2-2t），
∴DP=（2-2t）-（-3）=5-2t，
∴S_△PMH=

1

2

×2t（5-2t）=-2t²+5t=-2（t-

5

4

）²+

25

8

，（0＜t＜

5

2

），
∴当t=

5

4

时，S有最大值是

25

8

；

（3）∵抛物线的解析式为y=x²-4x-5，
∴设点E的坐标为（x，x²-4x-5），
又∵抛物线的对称轴为x=2，
∴点E到对称轴的距离为

1

2

EF=|x-2|，
∵以EF为直径的⊙Q与x轴相切，
∴|x-2|=|x²-4x-5|，
①x-2＞0，x²-4x-5＞0时，即x＞5时，x-2=x²-4x-5，
整理得，x²-5x-3=0，
解得x=

5+ 37

2

，x=

5- 37

2

（舍去），
∴x-2=

1+ 37

2

，
此时点E的坐标为（

5+ 37

2

，

1+ 37

2

），
②x-2＞0，x²-4x-5＜0时，即2＜x＜5时，x-2=-（x²-4x-5），
整理得，x²-3x-7=0，
解得x=

3+ 37

2

，x=

3- 37

2

（舍去），
∴-（x-2）=-（

3+ 37

2

-2）=

1- 37

2

，
此时点E的坐标为（

3+ 37

2

，

1- 37

2

），
③x-2＜0，x²-4x-5＞0时，即x＜-1时，-（x-2）=x²-4x-5，
整理得，x²-3x-7=0，
解得x=

3- 37

2

，x=

3+ 37

2

（舍去），
∴-（x-2）=-（

3- 37

2

-2）=

1+ 37

2

，
此时点E的坐标为（

3- 37

2

，

1+ 37

2

），
④x-2＜0，x²-4x-5＜0时，即-1＜x＜2时，-（x-2）=-（x²-4x-5），
整理得，x²-5x-3=0，
解得x=

5- 37

2

，x=

5+ 37

2

（舍去），
∴x-2=

5- 37

2

-2=

1- 37

2

，
此时点E的坐标为（

5- 37

2

，

1- 37

2

），
综上所述，存在点E：（

5+ 37

2

，

1+ 37

2

），（

3+ 37

2

，

1- 37

2

），（

3- 37

2

，

1+ 37

2

），（

5- 37

2

，

1- 37

2

）使得以EF为直径的⊙Q与x轴相切．