试题

（2012·瑶海区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB=5，BC=6时，求DE的长．

解：（1）连接OD，…（1分）
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠OBD，…（2分）
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；…（3分）

（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，…（4分）
又∵AB=AC，且BC=6，
∴CD=BD=

1

2

BC=3，
在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD=

AC2-CD2

=4，
又S_△ACD=

1

2

AC·ED=

1

2

AD·CD，
即

1

2

×5×ED=

1

2

×4×3，
∴ED=

12

5

．…（5分）

解：（1）连接OD，…（1分）
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠OBD，…（2分）
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；…（3分）

（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，…（4分）
又∵AB=AC，且BC=6，
∴CD=BD=

1

2

BC=3，
在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD=

AC2-CD2

=4，
又S_△ACD=

1

2

AC·ED=

1

2

AD·CD，
即

1

2

×5×ED=

1

2

×4×3，
∴ED=

12

5

．…（5分）