试题

（2013·白下区一模）点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，∠DBA=∠C．
（1）请判断BD所在的直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=AO=1，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．

（1）BD所在的直线与⊙O相切，理由如下：
证明：连接OB，
∵CA是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD所在的直线与⊙O相切；
（2）解：∵∠DBO=90°，AD=OA=OB，
∴DO=2BO，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵S_扇=

60π×1

360

=

π

6

，S_△OBD=

1

2

OB·BD=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_阴=S_△OBD-S_扇=

3

2

-

π

6

．
（1）BD所在的直线与⊙O相切，理由如下：
证明：连接OB，
∵CA是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD所在的直线与⊙O相切；
（2）解：∵∠DBO=90°，AD=OA=OB，
∴DO=2BO，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵S_扇=

60π×1

360

=

π

6

，S_△OBD=

1

2

OB·BD=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_阴=S_△OBD-S_扇=

3

2

-

π

6

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