试题

（2013·建宁县质检）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，BC交⊙O于点D，∠CAD=∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）BD=8，点O到BC的距离为3，求cos∠C的值．

（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠B=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠CAB=90°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：如图，过点O作OE⊥BD于E，
则OE=3，
在⊙O中，BD=8，
∴BE=

1

2

BD=4，
∴在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB=5，
∵∠C+∠B=90°，∠EOB+∠B=90°，
∴∠C=∠EOB，
∴cosC=cos∠EOB=

OE

OB

=

3

5

．
（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠B=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠CAB=90°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：如图，过点O作OE⊥BD于E，
则OE=3，
在⊙O中，BD=8，
∴BE=

1

2

BD=4，
∴在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB=5，
∵∠C+∠B=90°，∠EOB+∠B=90°，
∴∠C=∠EOB，
∴cosC=cos∠EOB=

OE

OB

=

3

5

．