试题

题目：
青果学院如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线．
答案
青果学院证明：如右图所示，
（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；

（2）连接OD，
∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ODB=∠AED=90°，
∴DE是⊙O的切线．
青果学院证明：如右图所示，
（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；

（2）连接OD，
∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ODB=∠AED=90°，
∴DE是⊙O的切线．
考点梳理
切线的判定；圆周角定理．
（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰三角形三线合一定理可知BD=CD；
（2）连接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，那么∠BAC=∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB=90°，从而可证DE是⊙O切线．
本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定．解题的关键是连接OD、AD，并证明OD∥AC．
证明题；压轴题．
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