试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，点D是
AC
的中点，过D点作DE⊥BC交BC于E，交BA于M；
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）连接AC交BD于F，若AF=5，CF=3，求BD的长．
答案
解：（1）证明：连接OD，青果学院
∵点D是
AC
的中点，
∴∠DOA=∠EBA
∴OD∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠MDO=∠MEB=90°，
∴ED是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，作FG⊥AB于G点，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠FGB=90°，
∴△AFG∽△ABC
∴
AF
AB
=
FG
BC

∵BD平分∠ABE，
∴FC=FG=3，
∴
BC
AB
=
3
5
，
∴BC=6，青果学院
∴BF=
FC2+BC2
=3
5
，
∵△DFA∽△CFB，
∴
DF
CF
=
AF
FB

即：
DF
3
=
5
3
5

∴DF=
5

∴BD=BF+FD=3
5
+
5
=4
5
．
解：（1）证明：连接OD，青果学院
∵点D是
AC
的中点，
∴∠DOA=∠EBA
∴OD∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠MDO=∠MEB=90°，
∴ED是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，作FG⊥AB于G点，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠FGB=90°，
∴△AFG∽△ABC
∴
AF
AB
=
FG
BC

∵BD平分∠ABE，
∴FC=FG=3，
∴
BC
AB
=
3
5
，
∴BC=6，青果学院
∴BF=
FC2+BC2
=3
5
，
∵△DFA∽△CFB，
∴
DF
CF
=
AF
FB

即：
DF
3
=
5
3
5

∴DF=
5

∴BD=BF+FD=3
5
+
5
=4
5
．
考点梳理
切线的判定；勾股定理；相交弦定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OD，利用题目中告诉的相等的弧长得到相等的角，从而得到线段的平行，证得OD⊥ME，从而判定切线；
（2）连接AD、作GF⊥AB，利用角平分线的性质求得FG的长，再利用相似三角形的知识求得BC、BF的长，利用相交弦定理求BF的长即可．
本题考查了切线的判定及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线，并在圆内利用相交弦定理等知识正确的求解．
综合题；压轴题．
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