试题

题目：
青果学院如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延长线上一点，BE=
10
3
．
（1）求
OD
OE
；
（2）证明：直线DE是半圆O的切线．
答案
青果学院（1）解：连接OD，作OF⊥CD于点F．
∵CD=6，∴DF=
1
2
CD=3．
∵OE=OB+BE=5+
10
3
=
25
3
．
∴
OD
OE
=
5
25
3
=
3
5
；
答；
OD
OE
的值为
3
5
；

（2）证明：∵
DF
OD
=
3
5
，
∴由（1）知
DF
OD
=
OD
OE
，
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOE．
∴△DOF∽△OED，
∴∠ODE=∠OFD=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与半圆O相切．
青果学院（1）解：连接OD，作OF⊥CD于点F．
∵CD=6，∴DF=
1
2
CD=3．
∵OE=OB+BE=5+
10
3
=
25
3
．
∴
OD
OE
=
5
25
3
=
3
5
；
答；
OD
OE
的值为
3
5
；

（2）证明：∵
DF
OD
=
3
5
，
∴由（1）知
DF
OD
=
OD
OE
，
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOE．
∴△DOF∽△OED，
∴∠ODE=∠OFD=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与半圆O相切．
考点梳理
切线的判定；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OD，作OF⊥CD于点F，根据CD=6利用垂径定理可得DF，再利用OB+BE即可求出OE．然后即可求出
OD
OE
的值；
（2）由（1）知
DF
OD
=
OD
OE
，利用CD∥AB，求证△DOF∽△OED，可得∠ODE=∠OFD=90°，即可证明直线DE与半圆O相切．
此题主要考查切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解答此题的关键是作好辅助线：连接OD，作OF⊥CD于点F．这也是此题的突破点，此题有一定的拔高难度，属于中档题．
几何综合题．
找相似题