试题

如图，△ABC中，O在AC的延长线上，⊙O过C、B两点，交直线AC于D，若CA=CB=CO．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧

BD

上一点，弦CE与BD相交于点F，tan∠BCF=

3

4

，若DF=4

3

-3，求线段FE的长．

（1）证明：如图：
连接OB、BE，
∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D=

1

2

∠OAB=30°．
∴∠DBO=∠ABD+∠OBA=30°+60°=90°．
∴DB是⊙O的切线；

（2）解：在直角△ABF中，由tan∠BFA=

5

2

，设AB=

5

a，则BF=2a，AF=3a，
∴cos∠BFA=

BF

AF

=

2a

3a

=

2

3

．
∵∠C=∠E，∠AFC=∠BFE，
∴△FDE∽△FCB，
∴

EF

DF

=

BF

CF

，
∴

12

25-x

=

x

12

，
∴EF=

3

5

（4

3

-3）
（1）证明：如图：
连接OB、BE，
∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D=

1

2

∠OAB=30°．
∴∠DBO=∠ABD+∠OBA=30°+60°=90°．
∴DB是⊙O的切线；

（2）解：在直角△ABF中，由tan∠BFA=

5

2

，设AB=

5

a，则BF=2a，AF=3a，
∴cos∠BFA=

BF

AF

=

2a

3a

=

2

3

．
∵∠C=∠E，∠AFC=∠BFE，
∴△FDE∽△FCB，
∴

EF

DF

=

BF

CF

，
∴

12

25-x

=

x

12

，
∴EF=

3

5

（4

3

-3）