试题

（2013·四会市二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
则EF为圆O的切线；
（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠OCA=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OC=OA=2，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=1，根据勾股定理得：CD=

3

，
∴S_阴影=S_△ACD-（S_扇形AOC-S_△AOC）=

1

2

×1×

3

-（

60π×22

360

-

3

4

×2²）=

3 3

2

-

2π

3

．
解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
则EF为圆O的切线；
（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠OCA=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OC=OA=2，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=1，根据勾股定理得：CD=

3

，
∴S_阴影=S_△ACD-（S_扇形AOC-S_△AOC）=

1

2

×1×

3

-（

60π×22

360

-

3

4

×2²）=

3 3

2

-

2π

3

．