试题

（2013·松北区二模）如图，直线AB经过⊙0上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：BC²=BD·BE；
（2）若tan∠CED=

1

2

，⊙0的半径为3，求OA的长．

（1）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴OC是⊙O的切线．
∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD·BE；

（2）∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

．
由（1）知，△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．
设BD=x（x＞0），则BC=2x．又BC²=BD·BE，
∴（2x）²=x（x+6），
解得x=0（不合题意，舍去），或x=2．
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5，即OA的长度是5．
（1）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴OC是⊙O的切线．
∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD·BE；

（2）∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

．
由（1）知，△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．
设BD=x（x＞0），则BC=2x．又BC²=BD·BE，
∴（2x）²=x（x+6），
解得x=0（不合题意，舍去），或x=2．
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5，即OA的长度是5．