试题

（2013·厦门质检）如图，已知四边形ABCD是正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PD．
（1）若∠PAB=37°，正方形的边长为5，求PA的长度；
（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）若PA=PD，过点P作PE⊥AD，垂足为E，判断直线PE与半圆的位置关系并说明理由．

解：（1）连接PB，如图所示，

∵AB为半圆的直径，
∴∠APB=90°，
在Rt△ABP中，AB=5，∠PAB=37°，
∴cos∠PAB=

AP

AB

，即cos37°=0.8=

AP

5

，
∴AP=4；

（2）PE为半圆的切线，理由为：

过P作PO⊥AB，设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∵PE⊥PA，PO⊥AB，
∴∠PEA=∠POA=90°，
∴四边形EAOP是矩形，
∴EA=PO，∠EPO=90°，
∵DP=AP，PE⊥DA，
∴EA=

1

2

DA=

1

2

a，
∴PO=

1

2

a，PO为半圆的半径，
∴PE为半圆的切线．
解：（1）连接PB，如图所示，

∵AB为半圆的直径，
∴∠APB=90°，
在Rt△ABP中，AB=5，∠PAB=37°，
∴cos∠PAB=

AP

AB

，即cos37°=0.8=

AP

5

，
∴AP=4；

（2）PE为半圆的切线，理由为：

过P作PO⊥AB，设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∵PE⊥PA，PO⊥AB，
∴∠PEA=∠POA=90°，
∴四边形EAOP是矩形，
∴EA=PO，∠EPO=90°，
∵DP=AP，PE⊥DA，
∴EA=

1

2

DA=

1

2

a，
∴PO=

1

2

a，PO为半圆的半径，
∴PE为半圆的切线．