试题

（1999·南京）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=6，AE=6

2

，求DE的长．

（1）证明：连接OE；（1分）
∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，（2分）
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，（3分）
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；（4分）

（2）解：∵AE是⊙O的切线，
AD=6，AE=6

2

，
∴AE²=AD·AB，（5分）
∴AB=

AE2

AD

=

(6 2 )2

12

=12，
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，（6分）
∴

DE

BE

=

AE

AB

；
设DE=

2

x，BE=2x，
∵DE²+BE²=BD²，（7分）
∴2x²+4x²=36，
解得x=±

6

（负的舍去），
∴DE=2

3

．（8分）
（1）证明：连接OE；（1分）
∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，（2分）
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，（3分）
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；（4分）

（2）解：∵AE是⊙O的切线，
AD=6，AE=6

2

，
∴AE²=AD·AB，（5分）
∴AB=

AE2

AD

=

(6 2 )2

12

=12，
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，（6分）
∴

DE

BE

=

AE

AB

；
设DE=

2

x，BE=2x，
∵DE²+BE²=BD²，（7分）
∴2x²+4x²=36，
解得x=±

6

（负的舍去），
∴DE=2

3

．（8分）