试题

（2001·黑龙江）如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：
（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否成立？请说明理由；
（2）如果AB=AC=5cm，sinA=

3

5

，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？

解：（1）结论成立．理由如下：
如图，连接OD；
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC；
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．

（2）当圆心O在AB上距B点为3x=

15

8

时，⊙O与AC相切．
如图所示，⊙O与AC相切于F，⊙O与AB相交于G．则OF⊥AC；
在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；
设OF=3x，AO=5x，则OB=OG=OF=3x，AG=2x，
∴8x=AB=5，
∴x=

5

8

，此时OB=3x=

15

8

时，
即当圆心O在AB上距B点为3x=

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时，⊙O与AC相切．
解：（1）结论成立．理由如下：
如图，连接OD；
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC；
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．

（2）当圆心O在AB上距B点为3x=

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8

时，⊙O与AC相切．
如图所示，⊙O与AC相切于F，⊙O与AB相交于G．则OF⊥AC；
在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；
设OF=3x，AO=5x，则OB=OG=OF=3x，AG=2x，
∴8x=AB=5，
∴x=

5

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，此时OB=3x=

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时，
即当圆心O在AB上距B点为3x=

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时，⊙O与AC相切．