试题

题目：
青果学院（2002·南宁）如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD：DB=3：2，AC=15，求⊙O的直径．
答案
青果学院（1）证明：连接OD，CD；
∵切线DE平分AC于E，
∴∠ODE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴在Rt△ADC中DE=CE；
∵OE=OE，OD=OC，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：∵AC是⊙O的切线；
∴AC·AC=AD·AB=AD·（AD+BD）AD：DB=3：2，
∴AD=3
15
，AB=5
15
，
∴BC=5
6
．
青果学院（1）证明：连接OD，CD；
∵切线DE平分AC于E，
∴∠ODE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴在Rt△ADC中DE=CE；
∵OE=OE，OD=OC，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：∵AC是⊙O的切线；
∴AC·AC=AD·AB=AD·（AD+BD）AD：DB=3：2，
∴AD=3
15
，AB=5
15
，
∴BC=5
6
．
考点梳理
切线的判定；切割线定理．
（1）要证AC是⊙O的切线，只要证∠BCA=90°即可；
（2）切割线定理得出关于AD，AB的比例式，求出AB的长，再用勾股定理求出求⊙O的直径．
本题考查了切线的判定，切割线定理和勾股定理的综合运用．
几何综合题．
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