试题

如图，已知等边△ABC，以BC为直径作半⊙O交AB于D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是半⊙O的切线；
（2）若DE=

3

，求△ABC与半⊙O重合部分的面积．

（1）证明：连接OD，CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∴D为AB的中点，
又O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
则DE与圆O相切；

（2）解：连接BF，OF，由（1）同理得到OF∥AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠FOC=∠DOB=60°，
∴∠DOF=60°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵D为AB的中点，
∴E为AF中点，即DE为△ABF的中位线，
∴BF=2DE=2

3

，
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
设CF=x，则BC=2x，
根据勾股定理得：（2

3

）²+x²=（2x）²，
解得：x=2，
∴等边△BOD和△COF边长都为2，半圆半径为2，
则△ABC与半圆O重合部分的面积S=2S_△BOD+S_扇形DOF=2×

3

4

×4+

60π×22

360

=2

3

+

2π

3

．
（1）证明：连接OD，CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∴D为AB的中点，
又O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
则DE与圆O相切；

（2）解：连接BF，OF，由（1）同理得到OF∥AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠FOC=∠DOB=60°，
∴∠DOF=60°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵D为AB的中点，
∴E为AF中点，即DE为△ABF的中位线，
∴BF=2DE=2

3

，
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
设CF=x，则BC=2x，
根据勾股定理得：（2

3

）²+x²=（2x）²，
解得：x=2，
∴等边△BOD和△COF边长都为2，半圆半径为2，
则△ABC与半圆O重合部分的面积S=2S_△BOD+S_扇形DOF=2×

3

4

×4+

60π×22

360

=2

3

+

2π

3

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