试题

（2007·台州）如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）

解：（1）直线CD与⊙O相切，
∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，
∵OC=1，
∴CD=

3

，
∴S_△COD=

1

2

OC·CD=

3

2

，
又∵S_扇形OCB=

π

6

，
∴S_阴影=S_△COD-S_扇形OCB=

3

2

-

π

6

=

3 3 -π

6

．
解：（1）直线CD与⊙O相切，
∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，
∵OC=1，
∴CD=

3

，
∴S_△COD=

1

2

OC·CD=

3

2

，
又∵S_扇形OCB=

π

6

，
∴S_阴影=S_△COD-S_扇形OCB=

3

2

-

π

6

=

3 3 -π

6

．