试题

如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点E，点D是BC边的中点，连接ED．
（1）试说明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O 直径为6，线段BC长为8，求AE的长．

解：（1）证明：连接BE，EO；
∵AB为⊙O直径．
∴∠AEB=90°．
∴△CEB为直角三角形．
∵D为BC中点；
∴DC=BD=ED．
∴∠DEB=∠EBD．
∵EO=OB；
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠OEB+∠DEB=∠OBE+∠DBE=∠ABC=90°．
即∠DEO=90°．
∴DE与⊙O相切于点E．

（2）解：∵BE⊥AC，
∴BE×AC=AB×BC，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴BE=4.8，
∴AE=

AB 2-BE2

=

18

5

．
解：（1）证明：连接BE，EO；
∵AB为⊙O直径．
∴∠AEB=90°．
∴△CEB为直角三角形．
∵D为BC中点；
∴DC=BD=ED．
∴∠DEB=∠EBD．
∵EO=OB；
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠OEB+∠DEB=∠OBE+∠DBE=∠ABC=90°．
即∠DEO=90°．
∴DE与⊙O相切于点E．

（2）解：∵BE⊥AC，
∴BE×AC=AB×BC，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴BE=4.8，
∴AE=

AB 2-BE2

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