试题

如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°．求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．

（1）证明：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．

（2）解：连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点，
∴BD=BC=

4

2

=2

2

，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴

BD

BE

=

AB

BD

，
∴BE·AB=BD·BD=2

2

×2

2

=8．
（1）证明：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．

（2）解：连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点，
∴BD=BC=

4

2

=2

2

，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴

BD

BE

=

AB

BD

，
∴BE·AB=BD·BD=2

2

×2

2

=8．