试题

如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2cm，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：连结OD、DB，如图，
∵∠1=∠ACD=60°，
而OD=OB，
∴△ODB为等边三角形，
∴∠2=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥PD，
∴DP是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ODP中，∠P=30°，OD=2，
∴PD=

3

OD=2

3

，
∴阴影部分的面积=S_△ODP-S_扇形OBD
=

1

2

×2×2

3

-

60·π·22

360

=（2

3

-

2

3

π）cm²．
（1）证明：连结OD、DB，如图，
∵∠1=∠ACD=60°，
而OD=OB，
∴△ODB为等边三角形，
∴∠2=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥PD，
∴DP是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ODP中，∠P=30°，OD=2，
∴PD=

3

OD=2

3

，
∴阴影部分的面积=S_△ODP-S_扇形OBD
=

1

2

×2×2

3

-

60·π·22

360

=（2

3

-

2

3

π）cm²．