试题

（2009·鄂尔多斯）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CE=5

3

，求⊙O的半径．

（1）证明：
证法一：连接OD（1分）
∵点D为BC的中点，点O为AB的中点
∴OD为△ABC的中位线
∴OD∥AC（2分）
∴∠DEC=∠ODE
∵DE⊥AC
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD（3分）
∴DE是⊙O的切线（4分）
证法二：连接OD，AD（1分）
∵AB为直径
∴∠BDA=90°，∠CDA=90°
∵∠C=30°
∴∠CAD=60°
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°
∴∠ADE=30°（2分）
∵点D为BC的中点，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD=60°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=60°（3分）
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线；（4分）

（2）解：
解法一：连接AD
∵AB为直径
∴∠BDA=90°
∵DE⊥AC
∴∠CED=90°
在Rt△CED中，cos∠C=

CE

CD

，cos30°=

5 3

CD

，CD=10（5分）
∵点D为BC的中点
∴BD=CD=10
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°（6分）
在Rt△ABD中．cos∠B=

DB

AB

，cos∠30°=

10

AB

，AB=

20 3

3

（7分）
∴⊙O的半径为

10 3

3

（8分）
解法二：连接AD，过O点作OF⊥BD，垂足为F（5分）
∵AB为直径
∴∠BDA=90°
∵D是BC的中点
∴BD=CD
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°（6分）
在Rt△CED中，cos∠C=

CE

CD

，cos30°=

5 3

CD

，CD=10
∴DB=CD=10，∴BF=5（7分）
在Rt△BFO中，cos∠B=

BF

OB

，cos30°=

5

OB

，OB=

10 3

3

（8分）
即⊙O的半径为

10 3

3

．
（1）证明：
证法一：连接OD（1分）
∵点D为BC的中点，点O为AB的中点
∴OD为△ABC的中位线
∴OD∥AC（2分）
∴∠DEC=∠ODE
∵DE⊥AC
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD（3分）
∴DE是⊙O的切线（4分）
证法二：连接OD，AD（1分）
∵AB为直径
∴∠BDA=90°，∠CDA=90°
∵∠C=30°
∴∠CAD=60°
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°
∴∠ADE=30°（2分）
∵点D为BC的中点，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD=60°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=60°（3分）
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线；（4分）

（2）解：
解法一：连接AD
∵AB为直径
∴∠BDA=90°
∵DE⊥AC
∴∠CED=90°
在Rt△CED中，cos∠C=

CE

CD

，cos30°=

5 3

CD

，CD=10（5分）
∵点D为BC的中点
∴BD=CD=10
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°（6分）
在Rt△ABD中．cos∠B=

DB

AB

，cos∠30°=

10

AB

，AB=

20 3

3

（7分）
∴⊙O的半径为

10 3

3

（8分）
解法二：连接AD，过O点作OF⊥BD，垂足为F（5分）
∵AB为直径
∴∠BDA=90°
∵D是BC的中点
∴BD=CD
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°（6分）
在Rt△CED中，cos∠C=

CE

CD

，cos30°=

5 3

CD

，CD=10
∴DB=CD=10，∴BF=5（7分）
在Rt△BFO中，cos∠B=

BF

OB

，cos30°=

5

OB

，OB=

10 3

3

（8分）
即⊙O的半径为

10 3

3

．