试题

（2010·巴中）已知如图所示，△ABC中∠A=∠B=30°，CD是△ABC的角平分线，以C为圆心，CD为半径画圆，交CA所在直线于E、F两点，连接DE、DF．
（1）求证：直线AB是⊙C的切线．
（2）若AC=10cm，求DF的长．

（1）证明：∵∠A=∠B，
∴AC=BC．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴CD⊥AB．
∴直线AB是⊙C的切线．

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴∠ACD=60°．
又CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，∠CDE=60°．
∴∠ADE=30°=∠A，
∴AE=DE．
∴AE=EC=CF=

1

2

AC=5cm．
∵EF是直径，∴∠EDF=90°．
∴DF=EF·sin60°=10×

3

2

=5

3

．
（1）证明：∵∠A=∠B，
∴AC=BC．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴CD⊥AB．
∴直线AB是⊙C的切线．

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴∠ACD=60°．
又CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，∠CDE=60°．
∴∠ADE=30°=∠A，
∴AE=DE．
∴AE=EC=CF=

1

2

AC=5cm．
∵EF是直径，∴∠EDF=90°．
∴DF=EF·sin60°=10×

3

2

=5

3

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