试题

题目：
青果学院（2010·乐山）如图所示，AB是⊙O的直径，D是圆上一点，
AD
=
DC
，连接AC，过点D作弦AC的平行线MN．
（1）证明：MN是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，AD=6，求弦BC的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OD，交AC于E，如图所示，
∵
AD
=
DC
，∴OD⊥AC；
又∵AC∥MN，∴OD⊥MN，
所以MN是⊙O的切线．

（2）解：设OE=x，因AB=10，所以OA=5，ED=5-x；
又因AD=6，在Rt△OAE和Rt△DAE中，
AE2=OA2-OE2=AD2-DE2，即：
52-x2=62-（5-x）2，解得x=
7
5
；
由于AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，则OD∥BC；
又AO=OB，则OE是△ABC的中位线，所以BC=2OE=2×
7
5
=
14
5
．
青果学院（1）证明：连接OD，交AC于E，如图所示，
∵
AD
=
DC
，∴OD⊥AC；
又∵AC∥MN，∴OD⊥MN，
所以MN是⊙O的切线．

（2）解：设OE=x，因AB=10，所以OA=5，ED=5-x；
又因AD=6，在Rt△OAE和Rt△DAE中，
AE2=OA2-OE2=AD2-DE2，即：
52-x2=62-（5-x）2，解得x=
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；
由于AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，则OD∥BC；
又AO=OB，则OE是△ABC的中位线，所以BC=2OE=2×
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=
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5
．
考点梳理
切线的判定；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．
（1）证MN是⊙O的切线，只需连接OD，证OD⊥MN即可．由于D是弧AC的中点，由垂径定理知OD⊥AC，而MN∥AC，由此可证得OD⊥MN，即可得证．
（2）设OD与AC的交点为E，那么OE就是△ABC的中位线，即BC=2OE；欲求BC，需先求出OE的长．可设OE为x，那么DE=5-x，可分别在Rt△OAE和Rt△ADE中，用勾股定理表示出AE2，即可得到关于x的方程，从而求出x即OE的值，也就能得到BC的长．
此题考查了垂径定理、切线的判定，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，难度适中．
计算题；证明题．
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