试题

（2011·枣庄）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=90°．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S_扇形OBC=

60π×22

360

=

2π

3

．
在Rt△OCD中，∵

CD

OC

=tan60°，
∴CD=2

3

．
∴SRt△OCD=

1

2

OC×CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴图中阴影部分的面积为2

3

-

2π

3

．
（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=90°．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S_扇形OBC=

60π×22

360

=

2π

3

．
在Rt△OCD中，∵

CD

OC

=tan60°，
∴CD=2

3

．
∴SRt△OCD=

1

2

OC×CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴图中阴影部分的面积为2

3

-

2π

3

．