试题

（2012·河池）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠C=30°，CE=6，求⊙O的半径．

（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．           
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．      
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．        

（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，cos∠C=

CE

CD

，cos30°=

6

CD

，
解得：CD=4

3

，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=4

3

，
∴AC=AB，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中．cos∠B=

BD

AB

，cos30°=

4 3

AB

，
解得AB=8，
故⊙O的半径为4．
（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．           
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．      
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．        

（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，cos∠C=

CE

CD

，cos30°=

6

CD

，
解得：CD=4

3

，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=4

3

，
∴AC=AB，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中．cos∠B=

BD

AB

，cos30°=

4 3

AB

，
解得AB=8，
故⊙O的半径为4．