试题

（2013·南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．

（1）证明：连结AD、OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，即DC=DB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴四边形OAED为矩形，
而OD=OA，
∴四边形OAED为正方形，
∴AE=AO，
∴tan∠ABE=

AE

AB

=

1

2

；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠FAB=90°，
而∠EAP+∠FAB=90°，
∴∠EAP=∠ABF，
∴tan∠EAP=tan∠ABE=

1

2

，
在Rt△EAP中，AE=2，
∵tan∠EAP=

EP

AE

=

1

2

，
∴EP=1，
∴AP=

AE2+EP2

=

5

．
（1）证明：连结AD、OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，即DC=DB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴四边形OAED为矩形，
而OD=OA，
∴四边形OAED为正方形，
∴AE=AO，
∴tan∠ABE=

AE

AB

=

1

2

；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠FAB=90°，
而∠EAP+∠FAB=90°，
∴∠EAP=∠ABF，
∴tan∠EAP=tan∠ABE=

1

2

，
在Rt△EAP中，AE=2，
∵tan∠EAP=

EP

AE

=

1

2

，
∴EP=1，
∴AP=

AE2+EP2

=

5

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